El Número de Oro; Phi; la Divina Proporción ...

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Empecemos por presentarlo desde el punto vista de la Escuela ... Pitagórica...


La escuela Pitagórica

Estamos en el siglo VI antes de Cristo.
Pitágoras, huyendo de Polícrates, el tirano que reinaba en la isla griega de Samos, se establece en Crotona, Italia, y funda la "Hermandad Pitagórica", una escuela de filosofía y matemáticas, una especie de secta de la que él era el gran maestro.
Trataban de explicar la vida mediante números, de ahí que el principio básico de la hermandad fuera: "Todo es número". Se comunicaban mediante un símbolo secreto: la estrella de 5 puntas, que se obtiene trazando las diagonales de un pentágono regular.
Estudiándola descubieron que, si divides en cualquier pentágono regular el valor de la diagonal entre el valor del lado, el número que obtienes es siempre el mismo, 1,61803.........................
Habían encontrado el número de oro, al que nosotros llamaremos Phi en honor al escultor Fidias, que tanto lo utilizó, y representaremos con la letra griega ø, la inicial del nombre de "Phidias" en griego.
Pero algo les desconcertó: hasta entonces, todos los números conocidos podían expresarse como un cociente entre dos números naturales, ese número no.
Era inexplicable para ellos, atentaba contra su propia concepción del mundo, así que incluso decidieron ocultarle a la sociedad que habían descubierto un nuevo tipo de números, los números irracionales.

A este número lo llamaremos número de oro o número áureo. Podemos abreviarlo como Phi, en honor al escultor Phidias, que tanto lo utilizó, y representarlo con la letra griega ø, la inicial del nombre de Phidias en griego.

Al inverso del número de oro, su hermano pequeño lo llamaremos phi (minúsculas). Sorprendentemente, lo único que diferencia a ambos números es la parte entera:
Phi es 1,618... y phi es 0,618...
Phi es un número irracional. A la pregunta ¿cuál es exactamente el valor de Phi? no podemos responder con total exactitud, ya que se trata de un número irracional, pero podemos aproximarlo por 1,618. No obstante, aquí tienes unos pocos decimales más...
1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 84754 08807 53868 91752 12663 38622 23536 93179 31800 60766 72635 44333 89086 59593 95829 05638 32266 13199 28290 26788 06752 08766 89250 17116 96207 03222 10432 16269 54862 62963 13614 43814 97587 01220 34080 58879 54454 74924 61856 95364 86444 92410 44320
Como curiosidad, decir que, en Mayo de 2000, Xavier Gourdon y Pascal Sebah calcularon ¡ un billón y medio de decimales de Phi ! con ayuda de una sencilla computadora Pentium III a 700 Mhz, con 512 de RAM y un disco duro de 10 gigas...

La proporción Aurea...
Decimos que dos números se encuentran en proporción áurea cuando al dividirlos obtenemos Phi, el número de oro. Para numerosos artistas representa la máxima expresión de la Belleza, la proporción perfecta, de ahí que a ...parezca en innumerables edificios y obras de arte desde la antigüedad hasta nuestros días.
El rectángulo de Oro es aquel rectángulo tal que si dividimos el lado mayor entre el menor obtenemos 1,618...,es decir, el número de oro.
Es un rectángulo especialmente bello y armonioso por lo que numerosos pintores lo utilizan a la hora de componer sus cuadros, los arquitectos eligen las dimensiones de sus edificios de la misma forma, y los escultores moldean sus figuras humanas dentro de rectángulos de oro.
Parece ser que el ojo humano percibe más belleza en ese rectángulo que en ningún otro, tal vez porque nosotros mismos estamos construidos en proporciones áureas.
Un rectángulo de oro tiene una característica muy interesante: si recortas de él un cuadrado, el rectángulo que queda sigue siendo un rectángulo de oro. Se observa con más detalle en la figura: si al rectángulo de oro grande le quitamos el cuadrado A, el rectángulo B sigue siendo de oro.
Pues bien, podemos realizar ese proceso tantas veces como queramos con los sucesivos rectángulos de oro que vamos obteniendo, de forma que podemos trazar una espiral apoyandonos en los sucesivos cuadrados que se van formando

Numerosas conchas de moluscos, crustáceos ,plantas y flores se desarrollan siguiendo este modelo de crecimiento
Para evitar que las nuevas hojas que van creciendo en la planta tapen la luz solar y la lluvia a las de más abajo, las plantas se desarrollan de la siguiente forma:
A partir de un núcleo básico de células( el meristemo), se va desarrollando la estructura de la planta( ya sean tallos, hojas, pétalos...). Las nuevas células se forman en un punto de crecimiento y van empujando a las más antiguas, con lo que la planta crece. Pues bien, cada vez que aparece una nueva célula se produce un giro de la anterior para dejarle espacio. Ese giro es siempre el mismo para cada nueva célula producida, sin importar el tamaño que pueda alcanzar la planta ni el tiempo que tarde en hacerlo.
En 1993, los franceses Douady y Couder demostraron matemáticamente que un ángulo fijo de rotación producía agrupamientos uniformes durante el crecimiento.

Tan sólo quedaba responder a la pregunta, ¿cuál es el ángulo de giro óptimo que debería utilizar una planta para aprovechar al máximo la luz solar, el agua de lluvia, etc? La respuesta la dió un para de años después Brian Goodwin, Catedrático de Biología en la Open University de Londres, autor del libro "Las Manchas del Leopardo": el ángulo óptimo es 222,49 grados, también llamado ángulo Goodwin.

Nuestra sorpresa es que, si dividimos los 360 grados que tiene una vuelta, entre 222,49 grados, obtenemos: 360/222,49=1,618 ¡el número de oro otra vez!
Es decir, existe una proporción de oro entre el ángulo de giro de las células en crecimiento y una vuelta completa de circunferencia.
Parece que los seres vivos nos desarrollamos de acuerdo con la proporción de oro. Así, no es de extrañar que encontremos bello aquello que, al fin y al cabo, nos recuerda a nosotros mismos.

El número Phi en el cuerpo humano
Aunque parezca increible, parece como si la Naturaleza se desarrollara a partir de este fantástico número. El hombre, los animales, las plantas, siguen a veces modelos de crecimiento que se corresponden fielmente con proporciones de oro. ¿Es una simple casualidad o nos encontramos ante un número que realmente guía nuestras vidas? Tal vez sea esta la razón por la que algunos han llamado a Phi "La Divina Proporción".
El estudio de Phi en el cuerpo humano comenzó en el Siglo XVI, cuando el Renacimiento italiano supuso un nuevo renacer de la cultura y el arte clásico.
Una de sus figuras, Leonardo da Vinci, realizó estudios sobre el cuerpo humano que le llevaron a considerar como un cuerpo perfecto aquel en el que se respetaban las proporciones áureas.
Plasmó sus conclusiones en uno de los dibujos más famosos de la historia, el Vitrubio, el cuerpo de un hombre inscrito en una circunferencia en el que se detallan las proporciones que deben de ser áureas.
Según las figuras, todos los cocientes, 1/2, 2/3, 3/4, etc, deberían ser iguales a phi, el hermano menor de Phi. Los cocientes inversos serán iguales por lo tanto a Phi, 1,618... Habrá según eso en el hombre( y la mujer, por supuesto), ¡16 proporciones de oro!.
La más llamativa tal vez sea la relativa al ombligo: si se divide la altura total de un hombre entre la distancia del ombligo a los pies obtenemos el número de oro; además, si se divide la distancia del ombligo a los pies entre la del ombligo a la cabeza también se obtiene Phi.
Existen también proporciones áureas en pies, brazos, en incluso en los dedos: las falanges dividen el dedo según proporciones de oro.

Igualmente realizó estudios sobre el cuerpo humano el más importante arquitecto del Siglo XX, Le Corbusier, en su célebre tratado Le Modulor, en el que también utilizaba la proporción de oro como base de su sistema: observa las diferentes figuras del hombre; el número que aparece en cada rectángulo te indica la altura a la que debe estar cada una de las partes del cuerpo según la posición. Muchos de los cocientes entre esos números son muy aproximados al número de oro:70/43, 113/70, 140/86, 183/113, 226/140...
Recientemente, estudios científicos avanzados han demostrado que lo que intuían estos hombres era cierto.
En el campo de la odontología, se ha descubierto que la dentadura va creciendo siguiendo proporciones áureas, y de la misma forma lo hacen otros rasgos faciales, como la sonrisa respecto al arco dental, la distancia entre los ojos y muchas más...
Las anchuras de los cuatro dientes frontales, desde el incisivo central hasta el premolar, se encuentran entre si en proporción áurea.
La relación entre la anchura del arco de la sonrisa entre el ancho de los 8 dientes centrales (los que pueden verse mientras se sonríe) es también áurea.
Cuando los dientes no están juntos, la linea de los labios divide la parte inferior del rostro según la proporción áurea.
También es aúrea la relación entre la distancia entre los ojos y el ancho de los mismos.
Tom Cruise es uno de los actores más famosos del mundo. Su rostro ocupa pantallas de cine, portadas de revistas, posters, fotos; casualmente posee unas proporciones áureas casi perfectas: sus ojos, boca, dientes, nariz, cabeza, están distribuidos de forma que la proporción de oro aparece constantemente. ¿Casualidad?.Hay otros famosos, como los españoles Antonio Banderas y Penélope Cruz que también poseen rostros "de oro". La belleza y Phi suelen ir de la mano.
Los puntos básicos de la acupuntura se distribuyen en la cara en diferentes rectángulos de oro.
El rostro humano puede encuadrarse en un rectángulo de oro. Si ahora dividimos el rostro trazando un segmento por encima de las cejas, obtenemos un nuevo rectángulo de oro en la parte superior, y podemos seguir indefinidamente con este proceso de forma que obtenemos una serie de puntos de intersección entre los diferentes rectángulos. Pues bien, esos puntos coinciden con los tradicionales puntos de energía usados en acupuntura para el tratamiento de enfermedades.

Ahora todo parece encajar: si nosotros mismos crecemos al ritmo marcado por Phi, ¿no es lógico que encontremos más bellas las formas basadas en la proporción de oro que las que no lo están?.

El número Phi en el arte. Las construcciones más famosas en las que se ha utilizado la proporción de oro son dos: el Partenón y la Gran Pirámide de Keops.

Los griegos descubrieron el número de oro, así que no es de extrañar que el monumento ...más representativo de la cultura clásica esté diseñado de acuerdo con proporciones áureas.
El creador de esta impresionante obra fue Phidias. En realidad, el número de oro se llama Phi en su nombre, y la abreviatura Ø corresponde a la inicial de Phidias en griego.
La fachada del partenón es un perfecto rectángulo de oro, pero además, hay otra serie de medidas en el edificio que también poseen proporciones áureas.
En la fachada podemos encontrar los siguientes rectángulos áureos: ABCD, AEGH, AEBF, y sus simétricos y, además, la zona de las molduras(en color violeta) también está compuesta por rectángulos áureos.
La Gran Pirámide de Keops es una de las más importantes obras arquitectónicas de la humanidad, siendo considerada una de las "siete maravillas" del mundo antiguo. Fue construida alrededor del año 2550 a.c., así pues, tiene casi 5000 años.
A pesar de ser construida unos dos mil años antes de que los griegos encontraran la proporción áurea, los egipcios ya la utilizaron en esta obra, ¿a propósito o por casualidad?
Al parecer, además de ser la tumba del faraón, la intención de sus constructores era la levantar un enorme observatorio astronómico, un gigantésco reloj. De hecho, sus cuatro caras laterales están perfectamente alineadas con los cuatro puntos cardinales, y el corredor que lleva a la cámara interior está orientado con la estrella polar. Con ella se podían medir los días, meses, calcular los equinoccios y solsticios para precedir el cambio de estaciones...
Su estructura es tan perfecta que hay quien incluso duda de que en aquella época los humanos fueran capaces de construirla sin ayuda, pero, ¿quién iba a ayudarles?
El hecho es que, el área total de la pirámide y el área lateral se encuentran en proporción áurea, y también lo están el área lateral y el área de la base. Aquí está la demostración:
La altura de la pirámide es de 146 metros, y tiene por base un cuadrado de 230 metros de lado sobre el que se apoyan 4 triángulos equiláteros.
El área del cuadrado será: 52900 m2
Aplicando el teorema de Pitágoras calculamos el area de cada triangulo que multiplicada por 4 da el area lateral que es AL=85491,9622 m2
El área total será la del cuadrado más la lateral, es decir: AT=52900+85491,9622=138391,9622 m2
Por tanto, la relación entre las diferentes áreas será: AT/AL=1,618 y AL/AB=1,618 es decir, el número de oro ya aparece hace ¡¡4500 años!!

Existen incontables expresiones en el mundo del arte (arquitectura, pintura, escultura...) donse se observa la utilización de las proporciones de oro. Aquí hay algunos de ellos:
Actualmente, el arquitecto Le Corbusier ha sido uno de los que más ha utilizado esta relación, a la hora de diseñar puertas, ventanas y otras formas geométricas de sus edificios. Una muestra de las modernas aplicaciones del número de oro es el edificio de las Naciones Unidas en Nueva York:
El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.
En sus dibujos,Leonardo Da Vinci, detallaba una serie de proporciones áureas en la cabeza humana y utiliza el número de oro para estructura su famoso cuadro "La anunciación"
"El jardín del Edén", de Jan Bruegel, posee proporciones áureas, además de estar estructurado en diferentes rectángulos de oro.
Henri Matisse utiliza en su cuadro "La mesa de la cena(armonía en rojo)", dos proporciones de oro: la ventana y el rectángulo que se formaría abajo a la derecha si prolongáramos los lados de la ventana.
En muchos cuadros de Picasso se pueden observar sucesivas secciones áureas en las que está dividido.
Si en el cuadro que Maurice Denis realizó en 1897 este "Retrato de Yvonne Lerolle" construimos un rectángulo de oro en la parte superior y otro en la parte derecha del anterior, vemos que la mujer central está alineada con la última recta que se dibuja.
Piet Mondrian utilizó frecuentemente los rectángulos de oro en sus composiciones

Por último citar que multitud de formas a nuestro alrededor guardan proporciones aúreas, ya que a la hora de diseñar un objeto se intenta que sea lo más atractivo posible...